Понятие структуры и связанные с ним другие понятия заняли в современной математике центральное место как с чисто «технической», так и с философской и методологической точек зрения. Общие теоремы основных типов структур служат чрезвычайно мощными инструментами математической «техники». Всякий раз, когда математику удается показать, что изучаемые им объекты удовлетворяют аксиомам определенного типа структур, он тем самым доказывает, что все теоремы теории структуры этого типа применимы к конкретным объектам, изучением которых он занимается (без этих общих теорем он, весьма вероятно, упустил бы из виду конкретные их варианты или был бы вынужден обременять свои рассуждения излишними допущениями). Аналогично, если доказано, что две структуры изоморфны, то число теорем немедленно удваивается: каждая теорема, доказанная для одной из структур, сразу же дает соответствующую теорему для другой. Неудивительно поэтому, что существуют весьма сложные и трудные теории, например «теория поля классов» в теории чисел, главная цель которых – доказательство изоморфизма структур.
С философской точки зрения, широкое использование структур и изоморфизмов демонстрирует основную особенность современной математики – то обстоятельство, что «природа» математических «объектов» не имеет особого значения, значимы лишь отношения между объектами (разновидность принципа неполноты знания).
Наконец, нельзя не упомянуть о том, что понятие структуры позволило по-новому классифицировать разделы математики. До середины 19 в. они различались в соответствии с предметом исследования. Арифметика (или теория чисел) имела дело с целыми числами, геометрия – с прямыми, углами, многоугольниками, окружностями, площадями и т.д. Алгебра занималась почти исключительно методами решения численных уравнений или систем уравнений, аналитическая геометрия разрабатывала методы преобразования геометрических задач в эквивалентные алгебраические задачи. Круг интересов еще одного важнейшего раздела математики, получившего название «математический анализ», включал в основном дифференциальное и интегральное исчисления и различные их приложения к геометрии, алгебре и даже теории чисел. Количество этих приложений увеличивалось, возрастало и их значение, что привело к дроблению математического анализа на подразделы: теорию функций, дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных), дифференциальную геометрию, вариационное исчисление и т.д.
С философской точки зрения, широкое использование структур и изоморфизмов демонстрирует основную особенность современной математики – то обстоятельство, что «природа» математических «объектов» не имеет особого значения, значимы лишь отношения между объектами (разновидность принципа неполноты знания).
Наконец, нельзя не упомянуть о том, что понятие структуры позволило по-новому классифицировать разделы математики. До середины 19 в. они различались в соответствии с предметом исследования. Арифметика (или теория чисел) имела дело с целыми числами, геометрия – с прямыми, углами, многоугольниками, окружностями, площадями и т.д. Алгебра занималась почти исключительно методами решения численных уравнений или систем уравнений, аналитическая геометрия разрабатывала методы преобразования геометрических задач в эквивалентные алгебраические задачи. Круг интересов еще одного важнейшего раздела математики, получившего название «математический анализ», включал в основном дифференциальное и интегральное исчисления и различные их приложения к геометрии, алгебре и даже теории чисел. Количество этих приложений увеличивалось, возрастало и их значение, что привело к дроблению математического анализа на подразделы: теорию функций, дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных), дифференциальную геометрию, вариационное исчисление и т.д.
Комментариев нет:
Отправить комментарий