(1) По общему мнению, «красивый» математический результат должен быть нетривиальным, т.е. не должен быть очевидным следствием аксиом или ранее доказанных теорем; в доказательстве должна использоваться какая-то новая идея или остроумно применены старые представления. Иначе говоря, для математика важен не сам результат, а процесс преодоления трудности, с которыми он столкнулся при его получении.
(2) У любой математической проблемы имеется своя история, так сказать «родословная», которая следует той же общей схеме, по которой развивается история любой науки: после первых успехов может пройти определенное время, прежде чем будет найден ответ на поставленный вопрос. Когда решение получено, история на этом не заканчивается, ибо начинаются известные процессы расширения и обобщения. Например, упоминавшаяся выше теорема Лагранжа приводит к вопросу о представлении любого целого числа в виде суммы кубов, четвертых, пятых степеней и т.д. Так возникает «проблема Варинга», до сих пор не получившая окончательного разрешения. Кроме того, если нам повезет, решенная нами проблема окажется связанной с одной или несколькими фундаментальными структурами, а это, в свою очередь, приведет к новым проблемам, связанным с этими структурами. Даже если первоначальная теория в конце концов «умирает», она, как правило, оставляет после себя многочисленные живые побеги. Современные математики столкнулись с такой необозримой россыпью задач, что, даже если бы прервалась всякая связь с экспериментальной наукой, их решение заняло бы еще несколько столетий.
(3) Каждый математик согласится с тем, что, когда перед ним возникает новая задача, его обязанность – решить ее любыми возможными средствами. Когда задача касается классических математических объектов (классицисты редко имеют дело с другими типами объектов), классицисты пытаются решить ее, используя только классические средства, в то время как другие математики вводят более «абстрактные» структуры с тем, чтобы использовать общие теоремы, имеющие отношение к задаче. Это различие подходов не ново. Начиная с 19 в. математики делятся на «тактиков», стремящихся найти чисто силовое решение проблемы, и на «стратегов», склонных к обходным маневрам, дающим возможность сокрушить противника малыми силами.
(4) Существенным элементом «красоты» теоремы является ее простота. Разумеется, поиск простоты свойствен всей научной мысли. Но экспериментаторы готовы примириться с «некрасивыми решениями», лишь бы задача была решена. Точно так же и в математике классицисты и абстракционисты не очень обеспокоены появлением «патологических» результатов. С другой стороны, модернисты заходят так далеко, что усматривают в появлении «патологий» теории симптом, свидетельствующий о несовершенстве основополагающих понятий.
(2) У любой математической проблемы имеется своя история, так сказать «родословная», которая следует той же общей схеме, по которой развивается история любой науки: после первых успехов может пройти определенное время, прежде чем будет найден ответ на поставленный вопрос. Когда решение получено, история на этом не заканчивается, ибо начинаются известные процессы расширения и обобщения. Например, упоминавшаяся выше теорема Лагранжа приводит к вопросу о представлении любого целого числа в виде суммы кубов, четвертых, пятых степеней и т.д. Так возникает «проблема Варинга», до сих пор не получившая окончательного разрешения. Кроме того, если нам повезет, решенная нами проблема окажется связанной с одной или несколькими фундаментальными структурами, а это, в свою очередь, приведет к новым проблемам, связанным с этими структурами. Даже если первоначальная теория в конце концов «умирает», она, как правило, оставляет после себя многочисленные живые побеги. Современные математики столкнулись с такой необозримой россыпью задач, что, даже если бы прервалась всякая связь с экспериментальной наукой, их решение заняло бы еще несколько столетий.
(3) Каждый математик согласится с тем, что, когда перед ним возникает новая задача, его обязанность – решить ее любыми возможными средствами. Когда задача касается классических математических объектов (классицисты редко имеют дело с другими типами объектов), классицисты пытаются решить ее, используя только классические средства, в то время как другие математики вводят более «абстрактные» структуры с тем, чтобы использовать общие теоремы, имеющие отношение к задаче. Это различие подходов не ново. Начиная с 19 в. математики делятся на «тактиков», стремящихся найти чисто силовое решение проблемы, и на «стратегов», склонных к обходным маневрам, дающим возможность сокрушить противника малыми силами.
(4) Существенным элементом «красоты» теоремы является ее простота. Разумеется, поиск простоты свойствен всей научной мысли. Но экспериментаторы готовы примириться с «некрасивыми решениями», лишь бы задача была решена. Точно так же и в математике классицисты и абстракционисты не очень обеспокоены появлением «патологических» результатов. С другой стороны, модернисты заходят так далеко, что усматривают в появлении «патологий» теории симптом, свидетельствующий о несовершенстве основополагающих понятий.
Комментариев нет:
Отправить комментарий